Разложение квадратного трехчлена на множители

 

Теорема. Пусть x1 и x2 - корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом: x2 + px + q = (x - x1) (x - x2).

Доказательство. Подставим вместо p и q их выражения через x1 и x2 и воспользуемся способом группировки:

x2 + px + q = x2 - (x1 + x2x + x1 x2 = x2 - x1 x - x2 x + x1 x2 = x (x - x1) - x2 (x - x1) = = (x - x1) (x - x2). Теорема доказана.

Эта теорема позволяет без дополнительных вычислений раскладывать квадратный трехчлен на множители, если по теореме Виета мы догадались о его корнях.

Пример. Разложить на множители трехчлен x2 - 4x - 21. Корни трехчлена подбираются устно: x1 = 7, x2 = -3 (произведение их модулей равно 21, они разных знаков, причем больший по модулю положителен). Получаем ответ:

x2 - 4x - 21 = (x - 7) (x + 3)

Для исследования сюжета рекомендуется манипулятор "Разложение трехчлена на множители".

Что же делать, если с помощью теоремы Виета мы не можем угадать корни? Наиболее общим способом разложения квадратного трехчлена (а значит, и нахождения его корней) является способ выделения полного квадрата.

Рассмотрим примеры.

1. x2 + 2x - 1

Квадратный трехчлен P целых корней иметь не может. Попробуем выделить полный квадрат: x2 + 2x - 1 = x2 + 2x + 1 - 1 - 1 = (x + 1)2 - 2.

Число 2 не является квадратом целого числа. Это является причиной того, что данный трехчлен не имеет целых корней. Воспользуемся квадратными корнями: 2 = . Получим (x + 1)2 - 2 = (x + 1)2 - = (x + 1 - ) (x + 1 + ).

Одновременно с разложением на множители мы получили и выражения для корней квадратного уравнения x2 + 2x - 1 = 0: + 1 -  = 0, x = -1 + 

x + 1 +  = 0, x = -1 - 

Ответ: x1 = -1 + , x2 = -1 - , или x1, 2 = -1 ±  .

2. P = x2 + x - 1

Поступаем аналогично: x2 - x - 1 = x2 - 2 ×  x +  -  - 1 = .

Запишем число в виде квадрата: . Получим: P =  = = . Корнями квадратного уравнения x2 + x - 1 = 0 будут числа и .

Заметим, что уравнение x2 - x - 1 = 0 с самыми маленькими (по модулю) целыми коэффициентами, но не имеющее целых корней, появляется в знаменитой задаче о золотом сечении, а его положительный корень »  1,618 часто называют "золотым числом".

3. P = x2 + x + 1

Поступаем аналогично: x2 + x + 1 = x2 + 2 ×  x +  -  + 1 =  = = .

Число мы не можем представить как квадрат, даже используя квадратные корни. Мы умеем их вычислять лишь для положительных чисел. Даже не зная этого, мы уже на предыдущем шаге могли сказать, что разложение трехчлена P невозможно: его множитель должен был бы иметь степень 1, то есть иметь вид x - a, а тогда P(a) должно было бы равняться нулю, но выражение строго положительно, так как (как квадрат), а .

Комментарий. Сравним три примера выделения полного квадрата.

1. x2 + 2x - 3 = (x + 1)2 - 4

2. x2 + 2x - 1 = (x + 1)2 - 2

3. x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 = (x + 1)2 - (-1)

В первом из них число 4 является квадратом целого числа 2, и мы получаем разложение (x + 1)2 - 22 = (x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x - 1) (x + 3).

Во втором случае нет целого числа, квадрат которого равняется 2, но есть такое иррациональное число. Используя запись с помощью радикала, = 2, мы получили разложение (x + 1)2 - 2 = (x + 1)2 -  = .

В третьем случае нет ни рационального, ни иррационального числа, квадрат которого равнялся бы числу -1. Методы выделения полного квадрата не помог разложить трехчлен на множители. То, что он вообще не раскладывается на множители, мы доказываем, привлекая свойства неравенств: выражение (x + 1)2 + 1 строго положительно при всех значениях x, поэтому оно не обращается в нуль, а значит, не может иметь линейный множитель, который заведомо обращается в нуль.

Оставим в стороне неравенства. Обратим внимание на то, что разложение во втором примере удалось получить за счет того, что мы расширили понятие числа, добавляя к знакомым ранее целым числам иррациональные (нам нужно было число, квадрат которого равен двум). А нельзя ли дальше расширить понятие числа и получить число, квадрат которого равен числу -1? Если бы мы нашли такое число (обозначим его через i), то нашли бы и разложение на множители: (+ 1)2 - i2 =  = (+ 1 - i) (x + 1 + i). Именно так поступили в XVI веке итальянские математики - они стали рассматривать "мнимые числа" - числа, квадрат которых отрицателен. С помощью этих чисел (в комбинации с обычными вещественными числами их стали называть комплексными числами) они смогли записать решения многих таких уравнений, которые не решались раньше. Правда, при этом пришлось пожертвовать неравенствами - мнимые числа уже нельзя обычным образом сравнивать с вещественными.

В оглавление